微分積分

  ヒーローアカデミア　積分 ぼくのヒーローアカデミアというアニメに難問積分が出ていたということなので解いていきます。   問題 \(\displaystyle\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})} \left(\disp...

  三次関数 一般に、三次関数は変曲点（$y^{\prime\prime}=0$）となる点について対称になります。   証明 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$の変曲点は、$f^{\prime\prime}(x)=6ax+2b=0...

スターリング公式の証明です。

カージオイド　体積 カージオイドの媒介変数表示を書いておきます。 \(x=r\cos\theta=a\cos\theta(1+\cos\theta)\) \(y=r\sin\theta=a\sin\theta(1+\cos\theta...

  基本用語 原始関数 \(F^{\prime}(x)=f(x)\)のとき、\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数という。 積分するとは原始関数を求めることである。   積分定数 微分して \(x^2\)となる関数は\(\displ...

  微分の基本 微分→  関数上のある点での接線の傾きを求める   基本用語 平均変化率 関数　\(y=f(x)\) で\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)　をaからbまで変化するときの平均変化率と...

  斜軸回転の体積 回転体の体積で、斜めの軸まわりの場合を考えます。   問題 \(y=x^2\)と\(y=x\)で囲まれる部分を\(y=x\)軸まわりに回転させてできる立体の体積は？   解答 \(r=\displaystyle\f...

  ドーナツの体積 ドーナツの形の体積を求めます。円を軸まわりにぐるっと回転させたと考えます。トーラスの一種。   設定 \(0\leq a\leq b\)とする。以下の図形を\(x\)軸まわりに回転させたものと考えて計算する。    ...

回転楕円体の体積 回転楕円体とは楕円を中心軸周りに回してできる立体。   以下では、\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)を\(x\)軸、\(y\)...

  楕円の面積 媒介変数表示を介して計算していきます。 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)の楕円では \(x=a\cos\theta\) \(y...