複素関数

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ガンマ関数の無限積表示

ガンマ関数の無限積表示 \(\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt\) を計算することで無限積表示を求める。   ガ...
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三角関数の無限乗積展開

三角関数の無限乗積展開 \(\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\displaystyle\frac{z^2}{n^2\pi^2 }\biggr)\)   \(\cos ...
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部分分数展開

部分分数展開 \(f(z)\)の極 \(a_{k}\) はすべて一位で留数を \(r_{k}\)とする。   \(f(z)=f(0)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}\biggl(\displ...
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複素関数4 留数の原理

  ※複素関数の一覧はこちら   留数   \(\alpha\)を\(f(z)\)の孤立特異点とする。   \(\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz=\begin{cases} 0 & \...
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複素関数3 テイラー展開、ローラン展開

  ※複素関数の一覧はこちら   テイラー展開とローラン展開 両方とも、ある点まわりの関数の展開となります。   テイラー展開は正則な点(近傍も正則) ローラン展開は特異点(周りは正則だが、その点は非正則) まわりの展開。   テイラ...
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複素関数2 積分

複素関数2 積分 複素数の積分はコーシーの積分定理をはじめ、大事な性質が多くあります。   ※複素関数の一覧はこちら     線積分 複素関数の線積分の定義 \(S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(t_{...
複素関数

複素関数1 微分 三角関数 指数対数関数

  複素関数1 微分 三角関数 指数対数関数 複素数における微分、三角関数、指数関数、対数関数の性質のまとめです。 実数の場合とはかなり異なる性質も多くあります。   ※複素関数の一覧はこちら   微分 \(f(z)=u(x,y)+i...
複素関数

√i

  \(\sqrt i\) iのルートについて考えます。     計算その1 答え自体は複素数になるので、それを \(x+yi\) とおく。二乗すると   \((x+yi)^2=i\) \(x^2-y^2+2xyi=i\)   実部と...
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フレネル積分

フレネル積分   \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\disp...
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iのi乗

  iのi乗 多価関数となり一つの値には定まらない。 なので、主値として定める値を求める。     \(\log i\) \(i^i\)を求めるにあたって、この主値を先に求める。    \(z=\log i\) とおく。変形すると \...
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