複素解析自然数和は-1/12 式 普通に計算したら無限大であるはずの自然数の総和が解析接続すると発散しないという面白い等式です。 $$\zeta(-1)=1+2+3+\cdots+ =-\displaystyle\frac{1}{12}$$ \(\zeta(s)\...2020.02.17複素解析
複素解析ガンマ関数の無限積表示 ガンマ関数の無限積表示 \(\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt\) を計算することで無限積表示を求める。 ガウ...2020.01.10複素解析
複素解析三角関数の無限乗積展開 三角関数の無限乗積展開 $$\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\displaystyle\frac{z^2}{n^2\pi^2 }\biggr)$$ $$\cos z...2019.12.29複素解析
複素解析部分分数展開 部分分数展開 \(f(z)\)の極 \(a_{k}\) はすべて一位で留数を \(r_{k}\)とする。 $$f(z)=f(0)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}\biggl(\display...2019.12.29複素解析
複素解析留数原理 留数 \(\alpha\)を\(f(z)\)の孤立特異点とする。 $$\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz=\begin{cases} 0 & \text{$(k\neq -1)$} \\ ...2019.12.27複素解析
複素解析テイラー展開、ローラン展開 テイラー展開とローラン展開 テイラー展開は正則な点(近傍も正則)まわりの展開 ローラン展開は特異点(周りは正則だが、その点は非正則)まわりの展開 テイラー展開 $$f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\inft...2019.12.27複素解析
複素解析複素積分 複素積分 線積分 複素関数の線積分の定義 $$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(t_{k})\Delta z_{k}$$ \(\Delta\)を0にしたときの極限値を\(\displaystyle\int...2019.12.27複素解析
複素解析√i \(\sqrt i\) 計算その1 答え自体は複素数になるので、それを \(x+yi\) とおく。二乗すると $$(x+yi)^2=i$$ $$x^2-y^2+2xyi=i$$ 実部と虚部を比較すると\(x^2=y^2\)、\(2x...2019.04.05複素解析
複素解析フレネル積分 フレネル積分 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displa...2019.03.15複素解析
複素解析iのi乗 iのi乗 $\log i$ \(i^i\)を求めるにあたって、$\log i$を先に求める。 \(z=\log i\) とおく。変形すると \(e^z=i\) であり、この解は $$z=\biggl(\displaystyle\fr...2019.03.14複素解析