複素解析

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自然数和は-1/12

  式 普通に計算したら無限大であるはずの自然数の総和が解析接続すると発散しないという面白い等式です。 $$\zeta(-1)=1+2+3+\cdots+ =-\displaystyle\frac{1}{12}$$ \(\zeta(s)\...
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ガンマ関数の無限積表示

  ガンマ関数の無限積表示 \(\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt\) を計算することで無限積表示を求める。 ガウ...
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三角関数の無限乗積展開

  三角関数の無限乗積展開 $$\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\displaystyle\frac{z^2}{n^2\pi^2 }\biggr)$$ $$\cos z...
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部分分数展開

部分分数展開 \(f(z)\)の極 \(a_{k}\) はすべて一位で留数を \(r_{k}\)とする。 $$f(z)=f(0)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}\biggl(\display...
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留数原理

  留数 \(\alpha\)を\(f(z)\)の孤立特異点とする。 $$\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz=\begin{cases} 0 & \text{$(k\neq -1)$} \\ ...
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テイラー展開、ローラン展開

  テイラー展開とローラン展開 テイラー展開は正則な点(近傍も正則)まわりの展開 ローラン展開は特異点(周りは正則だが、その点は非正則)まわりの展開 テイラー展開 $$f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\inft...
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複素積分

  複素積分 線積分 複素関数の線積分の定義 $$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(t_{k})\Delta z_{k}$$ \(\Delta\)を0にしたときの極限値を\(\displaystyle\int...
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√i

  \(\sqrt i\) 計算その1 答え自体は複素数になるので、それを \(x+yi\) とおく。二乗すると $$(x+yi)^2=i$$ $$x^2-y^2+2xyi=i$$ 実部と虚部を比較すると\(x^2=y^2\)、\(2x...
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フレネル積分

フレネル積分 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displa...
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iのi乗

  iのi乗 $\log i$ \(i^i\)を求めるにあたって、$\log i$を先に求める。  \(z=\log i\) とおく。変形すると \(e^z=i\) であり、この解は $$z=\biggl(\displaystyle\fr...
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