2007年 京大第一問(1)

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2007年 京大乙第一問(1)

小問集合の1番として定積分問題が出題されました。

※甲と乙で問題が分かれていたそう。乙の問題になります。

 

入試の積分問題一覧はこちら

旧帝大などで出題された不定積分、定積分の問題を集めました。ぜひ挑戦してみてください。解答解説も載せています。

 

問題

\(\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx\)

 

 

解答

分子を分割する。そのあとはそれぞれ計算するだけになります。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}dx+\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}\)

 

第一項

\(\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}dx\)

 

\(=\biggl[2\sqrt{x^2+4}\biggr]_{0}^{2}\)

※この積分はかたまり部分に\(x^2\)があって外に\(x\)があるからうまくできるな。と考えてる。係数はつじつま合うように調整する。

難しいなら\(t=\sqrt{x^2+4}\)でやる。

 

\(=4\sqrt{2}-4\)

 

第二項

分母の根号から \(x=2\tan\theta\)とおく。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{4(1+\tan^2\theta)}}\cdot \displaystyle\frac{2}{\cos^2 \theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{\cos\theta}{\cos^2 \theta} d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \displaystyle\frac{dt}{1-t^2}\)   ※ \(t=\sin\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \biggl(\displaystyle\frac{1}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1+t}\biggr)dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\log\biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|\biggr]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\biggr|\)

 

\(=\log(\sqrt{2}+1)\)

 

まとめ

第一項と第二項をまとめると答えは以下のように成る。

\(4\sqrt{2}-4+\log(\sqrt{2}+1)\)

 

結果

\(4\sqrt{2}-4+\log(\sqrt{2}+1)\)

 

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