2011年 京大第一問(2)

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2011年 京大第一問(2)

小問集合の2番として定積分問題が出題されました。

 

入試の積分問題一覧はこちら

旧帝大などで出題された不定積分、定積分の問題を集めました。ぜひ挑戦してみてください。解答解説も載せています。

 

問題

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} (x+1)\sqrt{1-2x^2}dx\)

 

 

 

 

解答

根号を外すように置換を考えます。

 

その1

\(x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta\)とおく。

 

※積分範囲は\(0\)~\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\)になる。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} (x+1)\sqrt{1-2x^2}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \biggl(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta+1\biggr)\cos x \times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin\theta\cos^2\theta d\theta+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^2\theta d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[-\displaystyle\frac{1}{3}\cos^3\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}\theta+\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)

※後半は半角公式から積分

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{6}\biggl(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}-1\biggr)+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(\displaystyle\frac{\pi}{8}+\displaystyle\frac{1}{4}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}+\displaystyle\frac{1}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{16}\pi\)

 

 

その2

だいたい同じだが、最初から2つの積分に分離することで少し計算を楽にできる。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} (x+1)\sqrt{1-2x^2}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} x\sqrt{1-2x^2}dx+\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-2x^2}dx\)

 

第一項

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} x\sqrt{1-2x^2}dx\)

 

\(=\biggl[-\displaystyle\frac{1}{6}(1-2x^2)^{\frac{3}{2}}\biggr]_{0}^{\frac{1}{2}}\)

 

\(=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{24}+\displaystyle\frac{1}{6}\)

 

第二項

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-2x^2}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^2\theta d\theta\)

※\(x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta\)とおいた。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}\theta+\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{16}\pi+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8}\)

 

まとめ

\(-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{24}+\displaystyle\frac{1}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{16}\pi+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}+\displaystyle\frac{1}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{16}\pi\)

 

 

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