2019年 京大第一問(2)

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2019年 京大第一問(2)

小問集合の2番として定積分問題が2問出題されました。

 

入試の積分問題一覧はこちら

旧帝大などで出題された不定積分、定積分の問題を集めました。ぜひ挑戦してみてください。解答解説も載せています。

 

問題

1番

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{x}{\cos^2 x}dx\)

 

2番

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)

 

 

 

解答

1番

方針としては部分積分です。\(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)がすぐ積分できることに気づいて、\(x\)もあるので部分積分かなと気付きたいです。

分子分母にきれいに分かれてるから、見えないと沼にはまるかもしれない。

ですが、それさえわかれば後は計算するだけになります。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{x}{\cos^2 x}dx\)

 

\(=\biggl[x\tan x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{(\cos x)’}{\cos x} dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\biggl[\log|\cos x|\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{1}{2}\log 2\)

 

 

2番

基本問題です。計算ミスしないようにだけ注意する。

 

以下の問題も参考に ※\(\cos x\)と\(\sin x\)で違うけど大体やることは同じ

1/sin xの積分の3通りの解法です。実際に解くときは1つ知っていたら大丈夫ですが、眺めておいて損はないです。いくつの方法で解けますか?

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{\cos x}{\cos^2 x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt
{2}}} \displaystyle\frac{dt}{1-t^2}\)

※ \(t=\sin x\)とおいた。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt
{2}}} \biggl(\displaystyle\frac{1}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1+t}\biggr)dt\)

※部分分数分解

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\log\biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|\biggr]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\biggr|\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log|\sqrt{2}+1|^2\)

 

\(=\log(1+\sqrt{2})\)

 

結果

1番 \(\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{1}{2}\log 2\)

 

2番 \(\log(1+\sqrt{2})\)

 

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