整数問題bot10

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整数問題bot10

https://twitter.com/integerbot77

の10番の問題です。

数学問題botの10番と同じ問題です。カテゴリーミスで複数に入ってしまいました。すみません。

思考

入試問題でも類題が結構出ています。

左辺を因数分解して考えていきます。

計算

左辺を因数分解すると \( (a+b)(a^2-ab+b^2)=133\)

ここで、\(133=19 \times7\)  である。

よって、\( a+b\) と\(a^2-ab+b^2\)  の組み合わせは(1,133)、(7,19)、(19,7)、(133,1)とこれらの負の場合の8通りとなる。

ここで

\(a^2-ab+b^2=\biggl(a-\displaystyle\frac{b}{2}\biggr)^2+\displaystyle\frac{3b^2}{4} \geq 0\)

および

\(a^2-ab+b^2-(a+b)=\biggl(a-\displaystyle\frac{b+1}{2}\biggr)^2+\displaystyle\frac{3}{4}(b-1)^2-1 \geq -1\)

であることから、\( a+b\) と\(a^2-ab+b^2\)  の組み合わせは(1,133)、(7,19)のみに限られる。

(1,133)の時。

\(b=1-a\) を代入して計算すると

\(a^2-a-44=0\)

この時、aとbは整数にならないので不適。

(7,19)の時。

\(b=7-a\) を代入して計算すると

\(a^2-7a+10=0\)

\(a=2,5\)  対応するbは \(b=5,2\)

答え

(a,b)=(2,5)、(5,2)

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