整数問題bot11

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整数問題bot11

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の11番の問題です。

 

計算

\(\displaystyle\frac{x}{p^n-x}=y\) とおく。(yが自然数となる時のyの値を求めることになる)

 

\(x=yp^n-xy\)  ……(変形)

 

\(x=\displaystyle\frac{yp^n}{1+y}\)  ……(さらに変形)

 

ここで\(y\) と\(y+1\) は互いに素で\(x\)は自然数なので\(1+y\) は\(p^n\)の因数。

 

よって、解答(\(y\)の値)は

 

\(y= p^n-1 , p^{n-1}-1 , p^{n-2}-1 , \cdots  p-1\)

 

答え

\(y= p^n-1 , p^{n-1}-1 , p^{n-2}-1 , \cdots  p-1\)

 

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