整数問題bot14

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整数問題bot14

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の14番の問題です。

 

 

思考

因数分解します。

 

計算

\(k\geq 3\)の奇数なので

\(n^k+1=(n+1)(n^{k-1}-n^{k-2}+\cdots +1)\)  と変形できる。

 

これが素数となるということは因数のうち片方が\(1\)になる。

\(n+1\geq 2\neq 1\)  より、\((n^{k-1}-n^{k-2}+\cdots +1)=1\) ということになる。

 

\(n^{k-1}-n^{k-2}+\cdots n^2-n=0\)  と変形出来て、

 

\((n-1)(n^{k-2}+n^{k-4}+\cdots +n)=0\)

 

\(k\geq 3\)より \(n^{k-2}+n^{k-4}+\cdots +n\geq n\geq 0\)より\(n-1=0\)すなわち \(n=1\) である。

この時の素数は\(2\)となり題意成立。

 

 

 

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