整数問題bot15

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整数問題bot15

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の15番の問題です。

 

 

思考

相加平均・相乗平均の関係の利用。

\(a+b=1\)の等号をうまく使えるようにやや技巧的な変形します。

 

 

計算

\(n^a+n^{bn}=n^{a-1}+n^{a-1}+n^{a-1}+\cdots +n^{a-1}+n^{bn}\)

 

\(\geq (n+1)\sqrt[n+1]{n^{a-1}\cdot n^{a-1}\cdot n^{a-1}\cdots +n^{a-1}\cdot n^{bn}}\)  (相加相乗)

 

\(=(n+1)\sqrt[n+1]{n^{n(a+b-1)}}\)

 

\(=(n+1)\sqrt[n+1]{1}\)

 

\(=(n+1)\)

 

 より示された。

 

 

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