整数問題bot16

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整数問題bot16

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の16番の問題です。

 

 

思考

コーシーシュワルツの不等式の応用形を使います。

 

\(\displaystyle\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+\displaystyle\frac{a_{2}^2}{b_{2}}\geq \displaystyle\frac{(a_{1}+a_{2})^2}{b_{1}+b_{2}}\)

\(b_{1}>0\)、\(b_{2}>0\)

 

 

計算

不等式を同値変形していきます。

 

\(\displaystyle\frac{x}{2x+y}+\displaystyle\frac{y}{2y+x}\leq \displaystyle\frac{2}{3}\)

 

\(\Leftrightarrow\)    \(\displaystyle\frac{(2x+y)-(x+y)}{2x+y}+\displaystyle\frac{(2y+x)-(y+x)}{2y+x}\leq \displaystyle\frac{2}{3}\)

 

\(\Leftrightarrow\)    \(1-\displaystyle\frac{x+y}{2x+y}+1-\displaystyle\frac{y+x}{2y+x}\leq \displaystyle\frac{2}{3}\)

 

\(\Leftrightarrow\)    \(\displaystyle\frac{x+y}{2x+y}+\displaystyle\frac{y+x}{2y+x}\geq \displaystyle\frac{4}{3}\)

 

\(\Leftrightarrow\)    \(\displaystyle\frac{1}{2x+y}+\displaystyle\frac{1}{2y+x}\geq \displaystyle\frac{4}{3(x+y)}\)

 

ここで、思考部分の公式を使う。

 

\(左辺=\displaystyle\frac{1}{2x+y}+\displaystyle\frac{1}{2y+x}\geq \displaystyle\frac{(1+1)^2}{(2x+y)+(x+2y)}=\displaystyle\frac{4}{3(x+y)}=右辺\)

 

よって示された。

 

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