整数問題bot17

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整数問題bot17

https://twitter.com/integerbot77

の17番の問題です。

 

 

思考

まずは展開。あとは、正なので相加平均、相乗平均の関係。

 

計算

\(a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)\)

 

\(=a^3 b+a b^3+b^3 c+b c^3+c^3 a+c a^3\)

 

\(\geq 6\sqrt[6]{(abc)^8}\)

 

\(=6\)

 

別解

すること同じですが、6個の相加相乗の発想が盲点になった時の解き方。

2回、相加相乗の関係を使えば解けます。

 

\(a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)\)

 

\(=a^3 b+a b^3+b^3 c+b c^3+c^3 a+c a^3\)

 

\(\geq 2\sqrt{a^4 b^4}+2\sqrt{b^4 c^4}+2\sqrt{c^4 a^4}\)

 

\(=2(a^2 b^2+b^2 c^2+c^2 a^2)\)

 

\(\geq 2\cdot 3\sqrt[3]{(abc)^4}\)

 

\(=6\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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