整数問題bot18

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整数問題bot18

https://twitter.com/integerbot77

の18番の問題です。

 

 

 

思考

対称式なので、\(a>b>c\)と仮定して解いてよく、チェビシェフの不等式が利用できる。

\(a,b,c,n\)は正の数なので、いろいろな不等式が使える。

 

計算

解1

ネスビットの不等式に形が似ているので、それを利用します。(使えるように変形)

 

\(\displaystyle\frac{a^n}{b+c}+\displaystyle\frac{b^n}{c+a}+\displaystyle\frac{c^n}{a+b}\)

 

\(\geq  \displaystyle\frac{1}{3}(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})\biggl(\displaystyle\frac{a}{b+c}+\displaystyle\frac{b}{c+a}+\displaystyle\frac{c}{a+b}\biggr)\)  (チェビシェフ不等式)

 

\(\geq \displaystyle\frac{1}{3}(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})\cdot \displaystyle\frac{3}{2}\)  (ネスビットの不等式) 

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt[3]{(abc)^{n-1}}\)  (相加相乗)

 

\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)

 

 

解2

ネスビット不等式を使わずにやってみます。

nが正なので、\(x^n\)においての凸不等式の性質が使える。

 

\(\displaystyle\frac{a^n}{b+c}+\displaystyle\frac{b^n}{c+a}+\displaystyle\frac{c^n}{a+b}\)

 

\(\geq  \displaystyle\frac{1}{3}(a^{n}+b^{n}+c^{n})\biggl(\displaystyle\frac{1}{b+c}+\displaystyle\frac{1}{c+a}+\displaystyle\frac{1}{a+b}\biggr)\)  (チェビシェフ不等式)

 

\(\geq\biggl(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}\biggr)^n \biggl(\displaystyle\frac{1}{b+c}+\displaystyle\frac{1}{c+a}+\displaystyle\frac{1}{a+b}\biggr)\)  (イェンゼン不等式)

 

\(=\biggl(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}\biggr)^{n-1} \displaystyle\frac{1}{6}\biggl((b+c)+(c+a)+(a+b)\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{1}{b+c}+\displaystyle\frac{1}{c+a}+\displaystyle\frac{1}{a+b}\biggr)\)

 

\(\geq  \biggl(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}\biggr)^{n-1} \displaystyle\frac{1}{6}(1+1+1)^2\)  (コーシーシュワルツ不等式)

 

\(\geq  \biggl(\displaystyle\frac{3\sqrt[3]{abc}}{3}\biggr)^{n-1}\cdot \displaystyle\frac{3}{2}\)  (相加相乗)

 

\(=\displaystyle\frac{3}{2}\)  

 

 

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