整数問題bot19

シェアする

整数問題bot19

https://twitter.com/integerbot77

の19番の問題です。

 

 

※\(d\)も正です。

 

思考

コーシーシュワルツの不等式の変形した形を利用。

 

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{x_{k}^2}{y_{k}}\geq \displaystyle\frac{(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k})^2}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}}\)

 

計算

\(\displaystyle\frac{a}{b+c+d}+\displaystyle\frac{b}{c+d+a}+\displaystyle\frac{c}{d+a+b}+\displaystyle\frac{d}{a+b+c}\)

 

\(=\displaystyle\frac{a^2}{a(b+c+d)}+\displaystyle\frac{b^2}{b(c+d+a)}+\displaystyle\frac{c^2}{c(d+a+b)}+\displaystyle\frac{d^2}{d(a+b+c)}\)

 

\(\geq \displaystyle\frac{(a+b+c+d)^2}{2(ab+bc+cd+da+ac+bd)}\geq \displaystyle\frac{4}{3}\) を示す。

 

これは展開して計算すると、以下の不等式と同値。

 

\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq 2(ab+bc+cd+da+ac+bd)\)

 

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2+(a-c)^2+(b-d)^2\geq 0\)

 

よって示された。

  

 

シェアする