整数問題bot20

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問題

https://twitter.com/integerbot77

の20番の問題です。

 

 

思考

前問と同じように、コーシーシュワルツの不等式の応用を使う。

計算の流れは前の問題と同じです。

 

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{x_{k}^2}{y_{k}}\geq \displaystyle\frac{(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k})^2}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}}\)

 

計算

シグマのままでは分かりにくいので、具体的に書いて計算していきます。

 

左辺=

\(\displaystyle\frac{a_{1}}{a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}+\displaystyle\frac{a_{2}}{a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{n}}+\cdots +\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{a_{1}^2}{a_{1}(a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n})}+\displaystyle\frac{a_{2}^2}{a_{2}(a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{n})}+\cdots +\displaystyle\frac{a_{n}^2}{a_{n}(a_{1}+\cdots +a_{n-1})}\)

 

\(\geq \displaystyle\frac{(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n})^2}{2\displaystyle\sum_{l<m}^{n} a_{l}a_{m}}\geq \displaystyle\frac{n}{n-1}\)を示します。

 

\(\displaystyle\sum_{l<m}^{n}a_{l}a_{m}\)は、\(1<l<n\)、\(1<m<n\)、\(l<m\)となるような組全ての和。これを(\(=A\))とおく。

 

\((a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n})^2=(a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots +a_{n}^2)+2A\)

であることを考えると、不等式は以下のようになる。

 

\((n-1)(a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots +a_{n}^2)+2(n-1)A-2nA\geq 0\)

 

\(\Leftrightarrow  (n-1)(a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots +a_{n}^2)-2A\geq 0\)

 

\(\Leftrightarrow  (a_{1}-a_{2})^2+ (a_{1}-a_{3})^2+ (a_{1}-a_{4})^2+\cdots+ (a_{1}-a_{n})^2\)

 

\(+(a_{2}-a_{3})^2+(a_{2}-a_{4})^2+\cdots +(a_{2}-a_{n})^2+\cdots +(a_{n-1}-a_{n})^2\geq 0\)

 

最後の変形はかなり急に見えるかもしれませんが、二乗の項、積の項を一つずつ考えてみると分かります。

 

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