整数問題bot21

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問題

https://twitter.com/integerbot77 の21番の問題です。

フェルマーの小定理の証明。

 

 

証明

二項展開を利用。

 

\(n^p=[(n-1)+1]^p=(n-1)^p+\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}(n-1)^k+1\)

 

\(\equiv (n-1)^p+1\)

※\(p\)が素数の時\(_{p}C_{k}\)は\(p\)の倍数であることを使用した。

 

\(\equiv (n-2)^p+1+1\)

 

\(\equiv 1+1+1\cdots +1\)\(=n\) \((mod p)\)

 

よって証明完了。

 

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