整数問題bot23

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問題

 

計算

\(n^k-m^3 n+m^3=0\)

 

\(n=1\)は解ではないので \(n\neq 1\) より

 

\(m^3=\displaystyle\frac{n^k}{n-1}\)

 

左辺が整数なので、右辺も整数となる。ここで\(n\)と\(n-1\)は互いに素。

右辺が整数になるには\(n-1=\pm 1\)とならないといけない。

 

\(n=0 , 2\)

 

\(n=0\)のとき

問題の式に代入して\(m=0\)を得る。

 

\(n=2\)のとき

問題の式より、\(m^3=2^k\)

 

\(m=2^{\frac{k}{3}}\)

 

mは整数なので、\(k\)が3の倍数の時、解となる。

 

答え

\((m , n)=(0 , 0),(2^{\frac{k}{3}} , 2)\)(kは3の倍数。)

 

 

 

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