整数問題bot26

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問題

証明

問題より

\(a^m+b^m=(a+b)X=2^l X\)  \(\cdots\) ①

 

\(f(a)=a^m-b^m\) とおくと \(f(-b)=(-b)^m-b^m=0\) ※\(m\)が偶数より

 

因数定理より \(a^m-b^m\)は\((a+b)\)で割り切れる。

※これは因数分解で示してもよい。

 

つまり \(a^m-b^m=(a+b)Y=2^l Y\) と書ける。  \(\cdots\) ②

 

①-②より \(2 b^{m}=2^l(X-Y)\)

 

\(b^{m}=2^{l-1}(X-Y)\)

 

よって\(b^m\)は\(2^{l-1}\)で割り切れる。

 

 

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