整数問題bot3

シェアする

 

整数問題bot3

 https://twitter.com/integerbot77

 

の3番の問題です。

 

 

 

思考

典型的な問題です。

不等式による絞り込みを使って考えていきます。(候補を絞っていく。)

 

計算

 絞り込み

\(a\leq b\leq c\)より次の不等式が成立。

 

\(1=\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}\leq \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{a} =\displaystyle\frac{3}{a}\)

 

これより  \( a \leq 3\)

 

\(a=1\)の時、問題文に代入すると\(b\) と\(c\) が存在しません。

 

よって\(a=2 , 3\)

 

\(a=2\) 

もう一度同様の方法で絞り込みを行う。

 

\(\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}\leq \displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{b} =\displaystyle\frac{2}{b}\)

 

よって \(b\leq 4\)

 

\(b=2\) では\(c\) と \(d\) が存在せず不適なので、 \(b=3 , 4\)

 

\(b=3\) の時 \(c=6\)  ……適する。

\(b=4\) の時 \(c=4\)  ……適する。

 

\(a=3\)

 

 \(\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}\leq \displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{b} =\displaystyle\frac{2}{b}\)

 

よって\(b\leq 3\)

 

\( a\leq b\)  なので \(b=3\) しか可能性はない。

 

\(b=3\) の時 \(c=3\)  ……適する。

 

答え

\( (a , b , c)= (2 , 4 , 4 ) (2 , 3, 6 ) (3 , 3 , 3 )\)

 

 

シェアする