整数問題bot4

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整数問題bot4

 https://twitter.com/integerbot77

 

の4番の問題です。

 

※x,y,zはすべて正です。書き忘れました。

 

思考

相加相乗を使います。

 

計算 

左辺=

\(\displaystyle\frac{x-y}{y+z}+\displaystyle\frac{y-z}{z+x}+\displaystyle\frac{z-x}{x+y} \)

 

\(=\displaystyle\frac{(x+z)-(y+z)}{y+z}+\displaystyle\frac{(y+x)-(z+x)}{z+x}+\displaystyle\frac{(z+y)-(x+y)}{x+y}\)

 

\(=\displaystyle\frac{x+z}{y+z}+\displaystyle\frac{y+x}{z+x}+\displaystyle\frac{z+y}{x+y}-3\)

 

\( \geq 3\sqrt[3]{\displaystyle\frac{x+z}{y+z}\cdot\displaystyle\frac{y+x}{z+x}\cdot\displaystyle\frac{z+y}{x+y}}-3=0\) ……(相加相乗)

 

よって問題の不等式は成立。

 

 

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