整数問題bot5

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整数問題bot5

 https://twitter.com/integerbot77

 

の5番の問題です。

 

 

思考

このような整数問題では基本的に候補となる組を絞っていって答えを出します。今回は左辺を積の形にして考えます。

 

計算

変形

\(a+ab+abc+abcd=363\) を次のように変形する。

 

\( a(1+b+bc+bcd)=363=3\times 11^2\)

 

\( a<1+b+bc+bcd\) であるので\(a= 1 , 3, 11\)

 

\(a=11\)

\(d\geq c\geq b\geq a=11\)なので

 

\( 1+b+bc+bcd>1+11+121+1331=1464\) よって不適。

 

\(a=3\) 

\(d\geq c\geq b\geq a=3\)なので

 

\( 1+b+bc+bcd>1+4+4\times 5+4\times 5\times 6=145\)

 

\(3\times 145 = 435 >363\)  よって不適。

 

\(a=1\) 

\( 1+b+bc+bcd=363\) ここで、上と同様の変形で

 

\(b(1+c+cd)=362=2\times 181\) 

というようにできる。

 

\(a<b<1+c+cd\)より \(b=2\) が確定する。

 

このとき  \(c(1+d)=180\)  となる。

 

\(c<d\) を考慮すると (c , d+1) の組は

 

\(  (3 , 60) , (4 , 45) ,(5 , 36) , (6 , 30) , (9 , 20) , (10 , 18) , (12 , 15)\)

 

答え

\( (c , d)=(3 , 59) , (4 , 44) , (5 , 35) , (6 , 29) , (9 , 19) , (10 , 17) , (12 , 14)\)(全て\(a=1\) \(b=2\))

 

 

 

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