整数問題bot6

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整数問題bot6

 https://twitter.com/integerbot77

 

の6番の問題です。

 

 

思考

\(n^2<x<(n+1)^2\) となる時xは平方数にはなりえない。これを利用して求める。

 

計算

挟みこみ

\(n^4+2n^3+2n^2+2n+2\)に近い平方数は

 

\( (n^2+n)^2=n^4+2n^3+n^2\) が挙げられる。(この辺りは試行錯誤)

 

\((n^2+n+1)^2=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\) 。 ※一違いの平方数

 

挟める条件

\(n^4+2n^3+n^2=(n^2+n)^2\)\(<n^4+2n^3+2n^2+2n+2\) は常に成立。

※右辺ー左辺で判別式が負なので。

 

\(n^4+2n^3+2n^2+2n+2\)\(<(n^2+n+1)^2=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)

が成立するのは右辺ー左辺で\(n^2-1>0\) のとき。

 

まとめると、\(|n|>1\)のときは以下の不等式が成立する。(=平方数になりえない。)

 

\( (n^2+n)^2\)\(<n^4+2n^3+2n^2+2n+2<\)\((n^2+n+1)^2\) 

 

解確認

よって解の候補としては \(n=0, \pm1\)

 

\(n=1\)の時 9となって成立。

\(n=0\)の時 2となって成立しない。

\(n=-1\)の時 1となって成立。

 

答え

\(n=\pm 1\)

 

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