整数問題bot7

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整数問題bot7

https://twitter.com/integerbot77

 

の7番の問題です。

 

思考

この手の問題を見たら因数分解出来たらいいななどと考えると思います。

素数という条件でもいろいろ絞れそう。今回は因数分解できます。

因数定理ではできません。結果から言うと2次×2次に因数分解するためです。

最初は因数分解できるとはわかりませんができると仮定して行うことになります。(矛盾せずできれば成功)

 

計算

因数分解

四次の係数が\(1\)及び定数項が\(5\)であることから設定する未知数を減らすことが出来ます。

 

\(x^4-4x^3+x^2+5=(x^2+ax\pm 1)(x^2+bx\pm 5)\) ……(複合同順)

 

計算するとプラスの時に因数分解ができ、\(a=1,b=-5\) となります。

 

\(x^4-4x^3+x^2+5=(x^2+x+1)(x^2-5x+5)\) というわけです。

 

これが素数ということは因数の片方は1であることが条件となります。←重要。

 

\(x^2+x+1=1\) の時

 

\(x=0 , -1\)

このとき、 \(x^4-4x^3+x^2+5=5, 11\)  となり素数となります。

 

\(x^2-5x+5=1\)の時

 

\(x=1 , 4\) 

このとき、 \(x^4-4x^3+x^2+5=3, 21\) となり、\(x=1\)の時のみ成立します。

  

答え

\(x=0,\pm 1\)

 

 

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