整数問題bot8

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整数問題bot8

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の8番の問題です。

 

数学問題9と同じです。(カテゴリー入れ違え等で被ってしまいました。すみません。)

 

思考

問題の式が割り算できることに注目します。

あとは、割り切れるということは因数に持っているという考えで解きます。

 

計算

式を変形します。

 

\(\displaystyle\frac{x^6-1}{x-1}=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\)

 

これは因数分解できます。((x+1)を因数に持つ。)

 

\(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^4+x^2+1)\)

 

\(32\)の倍数になる場合

 

\(x^4+x^2+1=x^2(x^2+1)+1\)    なので奇数である。

※\(x^2\)と\(x^2+1\)は連続する整数なのでその積は必ず偶数。

 

つまり、\((x+1)\) が\(32=2^5\)の倍数であることが条件。

 

これを満たすのは \( x=31,63,95\)  

 

100の倍数になる場合

 

\(100=5^2\times 2^2\) である。上より、\(x^4+x^2+1\) は奇数。

 

また、\(x^4+x^2+1\)は mod5 を考えると

x 0 1 2 3 4
\(x^4+x^2+1\) 1 3 1 1 3

 

より、5の倍数とはなりえない。

よって \( x+1\) が100の倍数であることが条件。

 

答えは \(x=99\)  

 

答え

まとめると

\(32\)の倍数になるのは \( x=31,63,95\)  

\(100\)の倍数になるのは \( x=99\)  

 

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