整数問題bot9

シェアする

 

整数問題bot9

 https://twitter.com/integerbot77

 

の9番の問題です。

 

 

計算

式変形

\(\sqrt{x^2+x+1}=n\) (nは0以上の整数)を満たすx、nを探す。

 

\(\biggl(x+\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)^2+\displaystyle\frac{3}{4}=n^2\)……(二乗して整理)

 

\(4n^2-(2x+1)^2=3\) ……(移行して両辺4倍)

 

\((2n+2x+1)(2n-2x-1)=3\) ……(因数分解)

 

ここで\((2n+2x+1、2n-2x-1)\)の組の候補として

(1,3)、(3,1)、(-3、-1)、(-1、-3)

がある。(それぞれ整数なため)

 

ところで \((2n+2x+1)+(2n-2x-1)=4n\geq 0\)

つまり後半の二つの候補は除外できる。

 

\(2n+2x+1=1\) かつ\(2n-2x-1=3\) の時

 

\(4x+2=-2\) より  \(x=-1\) (実際この時1となり成立)

 

\(2n+2x+1=3\) かつ\(2n-2x-1=1\) の時

 

\(4x+2=2\)より  \(x=0\) (実際この時1となり成立)

 

答え

\(x= 0 , -1\)

 

シェアする