積分問題bot1

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積分問題1

https://twitter.com/integralbot77

の1番の問題です。

 

 

思考

\(e^x\)、\(\sin x\)、\(\cos x\)と3つもあると扱いづらいです。そこで三角関数部分を二倍角公式によって一つにまとめてみます。

あとは計算するだけです。

 

計算

\(\displaystyle\int e^x\sin x \cos x dx =\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\int e^x\sin 2x dx\)

 

ここで \( \displaystyle\int e^x\sin 2x dx\) を求める。

(部分積分からも求めることが出来ますが今回は以下の方法で解きます。)

 

\([e^x\sin 2x]’=e^x(\sin 2x+2\cos 2x)\)      ……①

\([e^x\cos 2x]’=e^x(\cos 2x-2\sin 2x)\)    ……②

 

①-2×②を計算する。

\([e^x(\sin 2x-2\cos 2x)]’= 5e^x\sin 2x\)

 

よって

 \( \displaystyle\int e^x\sin 2x dx = \displaystyle\frac{e^x}{5}(\sin 2x-2\cos 2x)\)

 

上の結果より、求める積分の値を計算する。

 

\(\displaystyle\int e^x\sin x \cos x dx \)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\int e^x\sin 2x dx=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{e^x}{5}(\sin 2x-2\cos 2x)+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{e^x}{10}(\sin 2x-2\cos 2x) + C\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{e^x}{10}(\sin 2x-2\cos 2x) + C\)

 

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