積分問題bot100

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積分問題bot100

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の100番の問題です。

 

 

思考

複素積分。有名な積分で、ディリクレ積分と呼ばれます。

原点を避けるような経路を取ります。

 

計算

 

この経路を考えます。(下の直線が実軸上)

 

「一周」=「-R~-ρの実積分」+「小半円」+「ρからRの実積分」+「大半円」

また、\(f(z)=\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}\)を考えます。

 

一周積分

原点を避けたので、\(0\)。

 

実積分

二つの和を考えます。

 

\(\displaystyle\int_{-R}^{-\rho}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-R}^{-\rho}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx+\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{R}^{\rho}\displaystyle\frac{\cos (-x)+i\sin (-x)}{-x}(-dx)+\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{-\cos (x)+i\sin (x)}{x}dx+\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx\)

 

\(=2i\displaystyle\int_{\rho}^{R} \displaystyle\frac{\sin x}{x}dx\)

 

\(=2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}dx\)  (それぞれ\(\rho\to 0\)、\(R\to \infty\)にした。)

 

小円部分

\(z=re^{i\theta}\)として、\(r\to 0\)にする。

反時計回りに一周しているので、\(\theta\)は\(\pi\)~\(0\)になる。

\(dz=ire^{i\theta}d\theta\)

 

\(\displaystyle\lim_{r\to 0}\displaystyle\int_{小円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz=\displaystyle\lim_{r\to 0}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\displaystyle\frac{ire^{i\theta}e^{ire^{i\theta}}}{re^{i\theta}}d\theta=\displaystyle\int_{\pi}^{0}i d\theta\)

 

\(=-\pi i\)

 

大円部分

\(R\)を大きくすると、\(0\)に行きます。

 

 

結果

上の結果から、\(2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}dx-\pi i=0\) が成り立つので

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x} dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

 

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