積分問題bot100

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積分問題bot100

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の100番の問題です。

 

 

思考

複素積分。有名な積分で、ディリクレ積分と呼ばれます。

原点を避けるような経路を取ります。

 

計算

 

この経路を考えます。(下の直線が実軸上)

 

「一周」=「-R~-ρの実積分」+「小半円」+「ρからRの実積分」+「大半円」

また、\(f(z)=\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}\)を考えます。

 

\(\displaystyle\int_{-R}^{-\rho}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{小円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz+\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{大円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz=\displaystyle\int_{一周}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z} dz\)

 

右辺(一周積分)

原点を避けたので \(0\)。(原点以外の上半分に極はない)

 

実積分

二つの和を考えます。

 

\(\displaystyle\int_{-R}^{-\rho}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-R}^{-\rho}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx+\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{R}^{\rho}\displaystyle\frac{\cos (-x)+i\sin (-x)}{-x}(-dx)+\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{-\cos (x)+i\sin (x)}{x}dx+\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{\cos x+i\sin x}{x}dx\)

 

\(=2i\displaystyle\int_{\rho}^{R} \displaystyle\frac{\sin x}{x}dx\)

 

\(=2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}dx\)  (それぞれ\(\rho\to 0\)、\(R\to \infty\)にした。)

 

小円部分

\(z=re^{i\theta}\)として、\(r\to 0\)にする。

反時計回りに半周しているので、\(\theta\)は\(\pi\)~\(0\)

\(dz=ire^{i\theta}d\theta\)

 

\(\displaystyle\lim_{r\to 0}\displaystyle\int_{小円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz=\displaystyle\lim_{r\to 0}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\displaystyle\frac{ire^{i\theta}e^{ire^{i\theta}}}{re^{i\theta}}d\theta=\displaystyle\int_{\pi}^{0}i d\theta\)\(=-\pi i\)

 

大円部分

\(z=Re^{i\theta}=R(\cos\theta+i\sin\theta)\)として、\(R\to \infty\)にする。

反時計回りに半周しているので、\(\theta\)は\(0\)~\(\pi\)

\(dz=Rie^{i\theta}d\theta\)

 

\(\biggl|\displaystyle\lim_{R\to \infty}\displaystyle\int_{大円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz\biggr|\leq\displaystyle\lim_{R\to \infty}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\biggl|\displaystyle\frac{e^{iR(\cos\theta+i\sin\theta})}{Re^{i\theta}}iRe^{i\theta}\biggr|d\theta\)

 

\(=\displaystyle\lim_{R\to \infty}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\biggl|e^{iR(\cos\theta+i\sin\theta)}\biggr|d\theta\)

 

\(=\displaystyle\lim_{R\to \infty}\displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{-R\sin\theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\lim_{R\to \infty} 2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-R\sin\theta}d\theta\)

 

\(\leq 2\displaystyle\lim_{R\to \infty}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\frac{2}{\pi}\theta} d\theta\)  

※\(0\leq\theta\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}\)では\(\sin\theta\geq\displaystyle\frac{2\theta}{\pi}\)となる(グラフから分かる)

 

\(=\displaystyle\lim_{R\to \infty} -\displaystyle\frac{\pi}{R}(e^{-R}-1)=0\) 

 

※この部分の計算はジョルダンの補助定理を使用しても0になることが言える。

 

結果

\(\displaystyle\int_{-R}^{-\rho}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{小円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz+\displaystyle\int_{\rho}^{R}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x}dx+\displaystyle\int_{大円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z}dz=\displaystyle\int_{一周}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z} dz\)

に上の結果を代入。

 

\(2i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}dx-\pi i=0\) が成り立つので

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x} dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

 

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