積分問題bot101

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積分問題bot101

 

 

問題

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\)

 

積分問題botの33番の解説です。

の積分範囲がないバージョンです。

 

思考

いろいろなやり方があります。三角関数の合成を利用しても解ける(解1)。

 

解答1

三角関数の合成で解きます。まず、分母を合成する。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt 2\sin \biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)}dx\)

 

ここで、\(x=t-\displaystyle\frac{\pi}{4}\)と置換します。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin \biggl(t-\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)}{\sin t}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin t\cos\displaystyle\frac{\pi}{4}-\cos t\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}}{\sin t}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\biggl(1-\displaystyle\frac{\cos t}{\sin t}\biggr)dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}t-\displaystyle\frac{1}{2}\log(\sin t)+C\)

 

変数を\(x\)に戻すと

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\)

 

ここで、定数部分は積分定数に組み込めるので答えは以下のようになる。

 

\(\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\)

 

 

解答2

三角関数積分の王道の\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) の置換をします。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}+\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-4t}{(t^2-2t-1)(t^2+1)}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{-t+1}{t^2-2t-1}+\displaystyle\frac{t+1}{t^2+1}\biggr)dt\) ※部分分数分解

 

\(=\displaystyle\int\biggl(-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2(t-1)}{t^2-2t-1}+\displaystyle\frac{t}{t^2+1}+\displaystyle\frac{1}{t^2+1}\biggr)dt\) 

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\log|t^2-2t-1|+\displaystyle\frac{1}{2}\log|t^2+1|+\tan^{-1} t+C \) ※積分実行

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{\tan^2 \frac{x}{2}-2\tan\frac{x}{2}-1}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}\biggr|+\displaystyle\frac{x}{2}+C\) ※\(t\)を元に戻す

 

\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\log|\sin^2 \frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos^2 \frac{x}{2}|+C\) ※分子分母に\(\cos^2 \frac{x}{2}\)をかけた。

 

\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\log|\sin x+\cos x|+C\) ※二倍角、半角使って整理。

 

\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\)

 

解答3

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\tan x}{\tan x+1}dx\)

 

\(t=\tan x\) とする。

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t}{t+1}\cdot \displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)

 

\(\displaystyle\int\biggl[-\displaystyle\frac{1}{2(t+1)}+\displaystyle\frac{1+t}{2(1+t^2)}\biggr]dt\)  ※部分分数分解

 

\(\displaystyle\int\biggl[-\displaystyle\frac{1}{2(t+1)}+\displaystyle\frac{1}{2(1+t^2)}+\displaystyle\frac{t}{2(1+t^2)}\biggr]dt\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\log|t+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} t+\displaystyle\frac{1}{4}\log(t^2+1)+C\) ※積分実行

 

\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{4}\log\displaystyle\frac{(1+\tan x)^2}{1+\tan^2 x}+C\) ※\(t\)を元に戻す

 

\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{4}\log(\sin x+\cos x)^2+C\) ※分子分母に\(\cos^2 x\)をかけた。

 

\(=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin \biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\) ※\(-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sqrt 2\)は積分定数に組み込んだ。

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\)

 

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