積分問題bot101

シェアする

積分問題bot101

 

 

問題

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\)

 

思考

\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\)の置換をしようと思うかもしれませんが、複雑になってしまいます。厳しそうです。今回は、三角関数の合成を利用します。

 

計算

まずは、分母を合成していきます。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt 2\sin \biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)}dx\)

 

ここで、\(x=t-\displaystyle\frac{\pi}{4}\)と置換します。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin \biggl(t-\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)}{\sin t}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin t\cos\displaystyle\frac{\pi}{4}-\cos t\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}}{\sin t}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\biggl(1-\displaystyle\frac{\cos t}{\sin t}\biggr)dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}t-\displaystyle\frac{1}{2}\log(\sin t)+C\)

 

変数を\(x\)に戻すと

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\)

 

ここで、定数部分は積分定数に組み込めるので答えは以下のようになる。

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}\log\sin\biggl(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+C\)

 

 

シェアする