積分問題bot105

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問題

 

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x+1}\biggr)dx\)

 

\(=x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{\tan^2 x+1}{2\tan^2 x+1}dx\)

 

※第二項の変形

 

\(\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x+1}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x\biggl(1+\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\biggr)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\times \displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}}\)

 

\(=\biggl(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}\biggr)\times \displaystyle\frac{1}{1+\biggl(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}\biggr)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\tan^2 x+1}{2\tan^2 x+1}\)

 

\(=x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{2t^2+1}\)   ※\(t=\tan x\)

 

\(=x-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2+\biggl(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^2}\)

 

\(=x-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{-1} \sqrt{2}t+C\)

 

第二項は以下を利用した。

分母が二次式の積分を解説していきます。

 

\(=x-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2}\tan x)+C\)

 

答え

\(x-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2}\tan x)+C\)

 

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