積分問題bot108

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問題

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}\)

 

解答

\(t=\sqrt{\tan x}\) とおく。

 

\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1}{2}\tan x^{-\frac{1}{2}}\cdot \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}=\displaystyle\frac{1+t^2}{2t}\)   より

 

 

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} dx\)

 

\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{2t}{(1+t)(1+t^4)} dt\)

 

\(=\displaystyle\int \biggl(\displaystyle\frac{t^3-t^2+t+1}{t^4+1}\)\(-\displaystyle\frac{1}{t+1}\biggr) dt\)     ※部分分数分解

 

\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{t^3-t^2+t+1}{t^4+1}dt\)\(-\log|\sqrt{\tan x}+1|+C\)

 

第一項

第一項を考える。

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{t^3-t^2+t+1}{t^4+1}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{2}t+\displaystyle\frac{1}{2}}{t^2+\sqrt{2}t+1}dt+\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{2}t+\displaystyle\frac{1}{2}}{t^2-\sqrt{2}t+1}dt\)  ※部分分数分解

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{4}(2t+\sqrt{2})-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}}{t^2+\sqrt{2}t+1}dt+\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{4}(2t-\sqrt{2})+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}}{t^2+\sqrt{2}t+1}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{4}\log|t^2+\sqrt{2}t+1|-\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2}t+1)\)

\(+\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{4}\log|t^2-\sqrt{2}t+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2}t-1)+C\)  

 

\(=\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{4}\log|\tan x+\sqrt{2\tan x}+1|-\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}+1)\)

\(+\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{4}\log|\tan x-\sqrt{2\tan x}+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}-1)+C\)

 

部分分数分解のあとは分子が分母の微分形を作り出すためのくくりだし。

残った項は分母が二次で部分分数分解できないので以下の積分。

分母が二次式の積分を解説していきます。

 

最後に変数を元に戻しました。

 

まとめ

ここまでの計算は第一項をしていたので第二項と合わせると答えになる。

\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{4}\log|\tan x+\sqrt{2\tan x}+1|-\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}+1)\)

\(+\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{4}\log|\tan x-\sqrt{2\tan x}+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}-1)\)

\(-\log|\sqrt{\tan x}+1|+C\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{4}\log|\tan x+\sqrt{2\tan x}+1|-\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}+1)\)

 

\(+\displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{4}\log|\tan x-\sqrt{2\tan x}+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1} (\sqrt{2\tan x}-1)\)

 

\(-\log|\sqrt{\tan x}+1|+C\)

 

 

 

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