積分問題bot11

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積分問題bot11

https://twitter.com/integralbot77

の11番の問題です。

 

 

思考

分子分母に\(\sin x\)をかけることで置換してうまくいくようにします。

 

計算

置き換えて部分分数分解して解いていきます。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin^3 x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin^4 x}dx\)

 

\( t=\cos x\) と置き換えると

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin^3 x}=-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(1-t^2)^2}\)

 

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1+t}+\displaystyle\frac{1}{(1+t)^2}+\displaystyle\frac{1}{(1-t)^2}\biggr)dt\)  (部分分数分解)

 

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(\log|1+t|-\log|1-t|-\displaystyle\frac{1}{1+t}+\displaystyle\frac{1}{1-t}\biggr)+C\)  (それぞれ積分)

 

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\biggr|-\displaystyle\frac{\cos x}{2\sin^2 x}+C\)  (変数を戻す)

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\biggr|-\displaystyle\frac{\cos x}{2\sin^2 x}+C\) 

 

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