積分問題bot111

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問題

 

 

解答

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{1+\cos x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{x(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{x}{\sin^2 x}\)\(-\displaystyle\frac{x\cos x}{\sin^2 x}\biggr)dx\)

 

第一項

部分積分する。

\(\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{x}{\sin^2 x}\)

 

\(=-\displaystyle\frac{x}{\tan x}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\tan x}\)

 

\(=-\displaystyle\frac{x}{\tan x}+\log|\sin x|+C\)

 

第二項

こちらも部分積分。

\(-\displaystyle\frac{x\cos x}{\sin^2 x}\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{x}{\sin x}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}\)

 

\(=\displaystyle\frac{x}{\sin x}-\log\biggl|\tan\displaystyle\frac{x}{2}\biggr|+C\)

 

まとめ

\(=-\displaystyle\frac{x}{\tan x}+\log|\sin x|+\displaystyle\frac{x}{\sin x}-\log\biggl|\tan\displaystyle\frac{x}{2}\biggr|+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{x}{\sin x}-\displaystyle\frac{x}{\tan x}-\log|1+\cos x|+C\)

 

 

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