積分問題bot12

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積分問題bot12

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の12番の問題です。

 

思考

分子と分母に\(x^2+1\)があるので、これらを固めます。(かたまりとみる感じ)

 

計算

分子を分解して計算していきます。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x^2+x+1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{(x^2+1)+x}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

 

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}dx+\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx\)  (分子を分解)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x^2+1}dx+\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx\)  

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\displaystyle\frac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^2+1})\biggr]_{0}^{1}+\biggl[\sqrt{x^2+1}\biggr]_{0}^{1}\)

 

 \(=\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}+\displaystyle\frac{\log(1+\sqrt2)}{2}+\sqrt2-1\)

 

\(=\displaystyle\frac{3\sqrt2}{2}-1+\displaystyle\frac{\log(1+\sqrt2)}{2}\)

 

 

※\(\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x^2+1}dx\) の積分に関しては以下参照。

 

積分問題botの8番の解説です。

 

答え

\(\displaystyle\frac{3\sqrt2}{2}-1+\displaystyle\frac{\log(1+\sqrt2)}{2}\)

 

 

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