積分問題bot14

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積分問題bot14

 

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の14番の問題です。

 

思考

 

 三角関数の積分なので

\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) の置換をします。

 

三角関数の積分で万能なワイエルシュトラスの置換を解説。

 

計算

置換を実行すると、問題の積分は

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{1+\sin x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}{1+\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}\dot\displaystyle\frac{2dt}{1+t^2}\)

 

 

 \(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{4t}{(t^2+1)(t+1)^2}dt\)

 

部分分数分解をすると、以下のようになります。

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{t^2+1}dt\)\(-\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(t+1)^2}dt\)

 

前半

変数を\(x\)に戻します。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{t^2+1}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{1+\tan^2\frac{x}{2}}\dot\displaystyle\frac{dx}{2\cos^2 \frac{x}{2}}\)

 

\(=x+C\)

 

後半

\(-\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(t+1)^2}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{2}{t+1}+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{2}{1+\tan\frac{x}{2}}+C\)

 

答え

これらをまとめると最終的な答えとなる。

 

\(x+\displaystyle\frac{2}{1+\tan\frac{x}{2}}+C\) 

 

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