積分問題bot17

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積分問題bot17

https://twitter.com/integralbot77

の17番の問題です。

 

 

 

思考

最初に分母を平方完成します。そして置き換えです。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x+1)+3}{(x+1)^2+4}dx\)

 

\(t=x+1\) と置き換えると

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t+3}{t^2+4}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t}{t^2+4}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{3}{t^2+4}dx\)  (分子を分解した)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(t^2+4)+3\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1}\displaystyle\frac{t}{2}+C\)

 

置き換えたので元に戻します。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2+2x+5)+\displaystyle\frac{3}{2}\tan^{-1}\displaystyle\frac{x+1}{2}+C\)

 

 

答え 

\(\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2+2x+5)+\displaystyle\frac{3}{2}\tan^{-1}\displaystyle\frac{x+1}{2}+C\)

 

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