積分問題bot2

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積分問題bot2

https://twitter.com/integralbot77

の2番の問題です。

 

思考

\(e^x\)関連の積分なので、置換することを考えると思います。

置換しなくても今回はうまく解けます。

 

計算1

まずは分子分母に\(e^x\)をかけます。

 

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{1+e^{-x}}\)

 

\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{e^x}{1+e^{x}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{(1+e^{x})’}{1+e^{x}}dx\)

 

\(= \log (e^x+1) +C\)

 

計算2

 \(t=e^x\)とおく。

 

\(dt=e^x dx=tdx\)なので、\(dx=\displaystyle\frac{dt}{t}\)

 

よって

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{1+e^{-x}}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{t}}\cdot \displaystyle\frac{dt}{t}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+1}=\log|t+1|+C\)

 

\(=\log (e^x+1)+C\)

 

 

答え

\(\log (e^x+1)+C\)

 

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