積分問題bot24

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積分問題bot24

 

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の24番の問題です。

 

 

思考

部分分数分解します。(大変ですが定石通り。)

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x-4}{x^4-1} dx \)

 

 

\(=-\displaystyle\frac{3}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x-1} +\displaystyle\frac{5}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x+1}\)\(-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{x-4}{x^2+1}dx\)

 

 

\(=-\displaystyle\frac{3}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x-1} +\displaystyle\frac{5}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x+1}\)\(-\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}dx+\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{x^2+1}dx\)  

※最終項の分子を分解

 

\(=-\displaystyle\frac{3}{4}\log|x-1|+\displaystyle\frac{5}{4}\log|x+1|-\displaystyle\frac{1}{4}\log(x^2+1)+2\tan^{-1} x+C\)

 

答え

\(-\displaystyle\frac{3}{4}\log|x-1|+\displaystyle\frac{5}{4}\log|x+1|-\displaystyle\frac{1}{4}\log(x^2+1)+2\tan^{-1} x+C\)

 

 

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