積分問題bot25

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積分問題bot25

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の25番の問題です。

 

思考

分母を因数分解して部分分数分解します。

言うのは簡単ですが、計算は大変です。

 

計算

※\(x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)\)

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}\)\(-\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2-2}{x^4-x^2+1}dx\)

 

 

第1項

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{3}\tan^{-1} x+C\)

 

 

第2項

 \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2-2}{x^4-x^2+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt3}{6}\displaystyle\int\displaystyle\frac{3x-2\sqrt3}{x^2-\sqrt3 x+1}dx-\displaystyle\frac{\sqrt3}{6}\displaystyle\int\displaystyle\frac{3x+2\sqrt3}{x^2+\sqrt3 x+1}dx\)

 

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt3}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x-\sqrt3}{x^2-\sqrt3 x+1}dx-\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\biggl(x-\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)^2}\)

 

\(-\displaystyle\frac{\sqrt3}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x+\sqrt3}{x^2+\sqrt3 x+1}dx-\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\biggl(x+\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)^2}\)

 

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt3}{4}\log\biggl(\displaystyle\frac{x^2-\sqrt3x+1}{x^2+\sqrt3 x+1}\biggr)-\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1}(2x-\sqrt3)-\displaystyle\frac{1}{2}\tan^{-1}(2x+\sqrt3)+C\)

 

 

 

答えは

まとめると答えになる。

 

\(\displaystyle\frac{1}{3}\tan^{-1} x-\displaystyle\frac{\sqrt3}{12}\log\biggl(\displaystyle\frac{x^2-\sqrt3x+1}{x^2+\sqrt3 x+1}\biggr)+\displaystyle\frac{1}{6}\tan^{-1}(2x-\sqrt3)+\displaystyle\frac{1}{6}\tan^{-1}(2x+\sqrt3)+C\)

 

 

 

 

 

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