積分問題bot26

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積分問題bot26

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の26番の問題です。

 

思考

① \((\tan \theta)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であることをできるだけ利用する。

 

② \(\tan^2 \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}-1\) も使う。

 

計算

\(\displaystyle\int \tan^4 xdx\)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}-1\biggr)\tan^2 xdx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\tan^2 x}{\cos^2 x}dx-\displaystyle\int\tan^2 xdx\)

 

\(=\displaystyle\int \tan^2 x(\tan x)’dx-\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}-1\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\tan^3 x-\tan x+x+C\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{3}\tan^3 x-\tan x+x+C\)

 

 

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