積分問題bot27

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積分問題bot27

https://twitter.com/integralbot77

の27番の問題です。

 

 

思考

三角関数の積分なので \( t= \tan \displaystyle\frac{x}{2}\) という置換をする。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{1+\sin x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{1+t^2}}{1+\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}dt\)

 

分子分母を \( t^2+1\)  をかける。

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(t+1)^2}dt\)

 

 \(=-\displaystyle\frac{2}{t+1}+C\)

 

\(=-\displaystyle\frac{2}{1+\tan \displaystyle\frac{x}{2}}+C\)

 

 

 

答え

\(-\displaystyle\frac{2}{1+\tan \displaystyle\frac{x}{2}}+C\)

 

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