積分問題bot27

シェアする

積分問題bot27

https://twitter.com/integralbot77

の27番の問題です。

 

 

思考

三角関数の積分なので \( t= \tan \displaystyle\frac{x}{2}\) という置換をする。

 

計算1

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{1+\sin x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{1+t^2}}{1+\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{(t+1)^2}dt\) ※分子分母を \( t^2+1\)  をかける。

 

 \(=-\displaystyle\frac{2}{t+1}+C\)

 

\(=-\displaystyle\frac{2}{1+\tan \displaystyle\frac{x}{2}}+C\)

 

 

 

計算2

分子分母に \((1-\sin x)\) をかける。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{1+\sin x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}-\displaystyle\frac{\sin x}{\cos^2 x}\biggr)dx\)

 

\(=\tan x-\displaystyle\frac{1}{\cos x}+C\)

 

変形したら上と同じ答えになる。※もちろんこのままの答えで良い。

 

計算3

この方法は普通は思い浮かばないと思う。

 

\(1=\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}+\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}\)として解く。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{1+\sin x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}+2\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}+\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\biggl(\sin\displaystyle\frac{x}{2}+\cos\displaystyle\frac{x}{2}\biggr)^2}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\sin\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)^2}\)  \(\cdots\) 三角関数の合成

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)}+C\)  \(\cdots\) 公式。係数とかややこしいですが。

 

答え

\(-\displaystyle\frac{2}{1+\tan \displaystyle\frac{x}{2}}+C\)

 

シェアする