積分問題bot28

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積分問題bot28

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の28番の問題です。

 

 

 

思考

とりあえず根号が扱いづらいので \( t=\sqrt{\tan x}\) とおく。

 

計算

 \( dt=\displaystyle\frac{1}{2}(\tan x)^{-\frac{1}{2}}\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1+t^4}{2t}dx\)

 

これらから、\(t\)に関する積分に変換。

 

\(\displaystyle\int\sqrt{\tan x} dx\)

 

\(=2\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2}{t^4+1}dt\)

 

積分問題botの15番の解説です。

 

の結果を利用します。

 

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt2}{4}\log\biggl(\displaystyle\frac{t^2-\sqrt{2}t+1}{t^2+\sqrt{2}t+1}\biggr)+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2}t-1)+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2}t+1)+C\)

 

 

 \(=\displaystyle\frac{\sqrt2}{4}\log\biggl(\displaystyle\frac{\tan x-\sqrt{2\tan x}+1}{\tan x+\sqrt{2\tan x}+1}\biggr)+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2\tan x}-1)\)

\(+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2\tan x}+1)+C\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{\sqrt2}{4}\log\biggl(\displaystyle\frac{\tan x-\sqrt{2\tan x}+1}{\tan x+\sqrt{2\tan x}+1}\biggr)+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2\tan x}-1)\)

\(+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\tan^{-1}(\sqrt{2\tan x}+1)+C\)

 

 

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