積分問題bot31

シェアする

積分問題bot31

https://twitter.com/integralbot77

 

の31番の問題です。

 

 

 

思考

三角関数の積分ということなので \(t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}\) という置換をする。

 

計算

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{1+t^2}}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}+\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{1+2t-t^2}dt\)

 

\(=-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2-2t-1}\)

 

\(=-\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-\sqrt2-1)}+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t+\sqrt2-1)}\)  (部分分数分解)

  

\(=-\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\log|t-\sqrt2-1|+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\log|t+\sqrt2-1|+C\)

 

 \(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\log\biggl|\tan \frac{x}{2}+\sqrt2-1\biggr|-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\log\biggl|\tan \frac{x}{2}-\sqrt2-1\biggr|+C\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\log\biggl|\tan \frac{x}{2}+\sqrt2-1\biggr|-\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\log\biggl|\tan \frac{x}{2}-\sqrt2-1\biggr|+C\)

 

シェアする