積分問題bot33

シェアする

積分問題bot33

https://twitter.com/integralbot77

 

の33番の問題です。

 

思考

形からの連想ですが、対称性を利用する積分です。

 

計算

\(I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\) とおきます。

 

\(J=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx\) とおく。

 

 \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\) とおくと

 

\(J=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\displaystyle\frac{\sin t}{\sin t+\cos t}(-dt)\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=I\)

 

よって \(I=J\) 

 

また、 \(I+J=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)なので

 

\(I=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

 

シェアする