積分問題bot34

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積分問題bot34

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の34番の問題です。

 

 

 

計算

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x}{e^x-1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x}{e^x\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{e^x}\biggr)}dx\)

 

 ここで無限級数を式を逆に利用。(1より小さい)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty}xe^{-x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{e^{nx}}dx\)

 

今回はシグマと積分は交換できる。

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}xe^{-(n+1)x}dx\)

 

ここで指数部分の処理のため置き換える。\(t=(n+1)x\)

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{t}{n+1}\cdot e^{-t}\cdot \displaystyle\frac{dt}{n+1}\)

 

変数と関係ないところは外に出せます。

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}te^{-t}dt\)

 

積分部分は部分積分をして計算していくと\(1\)になります。よって

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)

 

最後はバーゼル問題です。

 

答え

\(\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)

 

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