積分問題bot35

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積分問題bot35

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の35番の問題です。

 

 

思考

全体が根号の分数型は全体を置き換えます。

 

計算

\(t=\sqrt{\displaystyle\frac{x-1}{x+1}}\) とおく。

 

\(x=\displaystyle\frac{1+t^2}{1-t^2}\)

 

\(dx=\displaystyle\frac{4t}{(1-t^2)^2}dt\)

 

代入して計算する。

 

\(=4\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2}{(t^2-1)^2}dt\)

 

\(=4\displaystyle\int\displaystyle\frac{(t^2-1)+1}{(t^2-1)^2}dt\)

 

 

\(=4\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2-1}\)\(+4\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t^2-1)^2}\)

 

 

第一項

 

\(=4\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2-1}\)

 

\(=2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t-1}-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+1}\)

 

 

第二項

\(4\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t^2-1)^2}\)

 

\(=4\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-1)^2(t+1)^2}\)

 

部分分数分解します。(計算大変ですが)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+1}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t+1)^2}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t-1}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-1)^2}\)

 

 

第一項と第二項を合わせる

 

\(=-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+1}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t+1)^2}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t-1}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-1)^2}\)

 

\(=\log\biggl|\displaystyle\frac{t-1}{t+1}\biggr|-\displaystyle\frac{1}{t+1}-\displaystyle\frac{1}{t-1}+C\)

 

\(=\sqrt{x^2-1}-\log|x+\sqrt{x^2-1}|+C\)

 

答え

\(=\sqrt{x^2-1}-\log|x+\sqrt{x^2-1}|+C\)

 

 

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