積分問題bot36

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積分問題bot36

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の36番の問題です。

 

 

 

計算

まず、\(x^x=e^{\log x^x}=e^{x\log x}\) なので積分は

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}x^xdx=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{x\log x}dx\)

 

\(e^x\) のテイラー展開を行う。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(x\log x)^n}{n!}dx\)

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}\displaystyle\int_{0}^{1}(x\log x)^n dx\)

 

\(\log x\) が扱いにくいので置換します。積分範囲を正にしておくために

\(t=-\log x\)

と置き換えます。すると積分部分は

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}(x\log x)^n dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{\infty}^{0} (-te^{-t})^n \cdot -e^{-t} dt\)

 

\(=(-1)^n\displaystyle\int_{0}^{\infty} t^n e^{-(n+1)t}dt\)

 

\(u=(n+1)t\)  と置き換えます。

 

\(=(-1)^n\displaystyle\int_{0}^{\infty}\bigg(\displaystyle\frac{u}{n+1}\biggr)^n \cdot e^{-u} \cdot \displaystyle\frac{du}{n+1}\)

 

\(=\displaystyle\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}\displaystyle\int_{0}^{\infty} u^ne^{-u}du\)

 

この積分はガンマ関数。

 

\(=\displaystyle\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}Γ(n+1)\)

 

\(=\displaystyle\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}\cdot n!\) (今、nは整数)

 

 積分部分の結果がこれなので

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}x^xdx\)

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}\displaystyle\int_{0}^{1}(x\log x)^n dx\)

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}\)

 

 \(=\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^3}-\displaystyle\frac{1}{4^4}+ \cdots\)

 

答え

\(=\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^3}-\displaystyle\frac{1}{4^4}+ \cdots\)

 

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