積分問題bot37

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積分問題bot37

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の37番の問題です。

 

思考

\(x^2+1\)があるので\(\tan \theta\)で置き換えてみます。

 

計算1

\(x=\tan \theta\) と置きます。

 

\(dx=\displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 \theta \cos \theta d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{\sin^3 \theta}{\cos^2 \theta}d\theta\)

 

\(t=\cos \theta\)  とおくと、\(dt=-\sin \theta d\theta\) なので

 

\(=\displaystyle\int_{1}^{\frac{1}{\sqrt2}}\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{t^2}\biggr)dt\)

 

\(=\biggl[t+\displaystyle\frac{1}{t}\biggr]_{1}^{\frac{1}{\sqrt2}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{3\sqrt2}{2}-2\)

 

計算2

分子を、\(x^3=x(x^2+1)-x\)  と変形する。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x^3}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x(x^2+1)-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}dx\)

 

\(=\biggl[\sqrt{x^2+1}\biggr]_{0}^{1}+\biggl[\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\biggr]_{0}^{1}\)

 

\(=\displaystyle\frac{3\sqrt2}{2}-2\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{3\sqrt2}{2}-2\)

 

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