積分問題bot38

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積分問題bot38

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の38番の問題です。

 

思考

\(\displaystyle\frac{1}{\cos^4 x}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\cdot \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)と考え、三角比の関係性等を利用していく。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos^4 x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\cdot \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}dx=\displaystyle\int(1+\tan^2 x)\displaystyle\frac{dx}{\cos^2 x}\)

 

\(t=\tan x\) とおく。(\(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)が\(\tan x\) の微分であることを踏まえての置換。)

 

\(dt=\displaystyle\frac{dx}{\cos^2 x}\) なので

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos^4 x}=\displaystyle\int(1+t^2)dt=\displaystyle\frac{1}{3} t^3+t+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\tan^3 x+\tan x+C\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{3}\tan^3 x+\tan x+C\)

 

 

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