積分問題bot39

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積分問題bot39

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の39番の問題です。

 

思考

 根号を外すための置換を考えます。

 

\(1+\tan^2 \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}\) の関係から逆に考えていくと

 

\(x=\displaystyle\frac{1}{\cos \theta}\) とおけばうまくいくかもしれない、と考えられます。

 

\(dx=\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}d\theta\) となります。

 

計算

上の計算を問題の積分に代入すると

 

\(\displaystyle\int\sqrt{x^2-1}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\tan^2 \theta}{\cos \theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos \theta}\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}-1\biggr)d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^3 \theta}d\theta\)\(-\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos \theta}d\theta\)

 

 第一項

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^3 \theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos \theta}{\cos^4 \theta}d\theta\)

 

\(t=\sin \theta\)  とおく。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t^2-1)^2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{t+1}+\displaystyle\frac{1}{(t+1)^2}-\displaystyle\frac{1}{t-1}+\displaystyle\frac{1}{(t-1)^2}\biggr)dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{t+1}{t-1}\biggr|-\displaystyle\frac{1}{4(t+1)}-\displaystyle\frac{1}{4(t-1)}+C\)

 

 元に戻す。計算すると、

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\biggr|+\displaystyle\frac{\sin \theta}{2\cos^2 \theta}+C\)

 

第二項

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos \theta}d\theta\)

 

\(t=\sin \theta\)  とおく。

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t^2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|+C\)

 

\(=\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\biggr|+C\)

 

 合わせる

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^3 \theta}d\theta\)\(-\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos \theta}d\theta\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\biggr|+\displaystyle\frac{\sin \theta}{2\cos^2 \theta}+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2-1}\)\(-\displaystyle\frac{1}{2}\log|x+\sqrt{x^2-1}|+C\)

 

 

答え

 

\(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2-1}\)\(-\displaystyle\frac{1}{2}\log|x+\sqrt{x^2-1}|+C\)

 

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