積分問題bot4

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積分問題bot4

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の4番の問題です。

 

思考

因数定理より、分子分母ともに\(x-1\)を因数に持つので、そこから式変形を行っていきます。

 

計算

\(\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \displaystyle\frac{x^7+6x^5-2x^4-2x^2-x-2}{x^6-1}dx\)

 

分子分母共に\(x=1\)を代入すると0になるので、\( (x-1) \) を因数に持つ。

 

\(\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\displaystyle\frac{(x-1)(x^6+x^5+7x^4+5x^3+5x^2+3x+2)}{(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\displaystyle\frac{x^6+x^5+7x^4+5x^3+5x^2+3x+2}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}dx\)

 

分母の次元が分子より小さいので割ります。

 

 \(=\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\displaystyle\frac{x(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)+6x^4+4x^3+4x^2+2x+2}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}dx\)

 

分子を分母の微分型にするために第二項の分子を次のようにします。

 

 \(=\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}xdx +\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\displaystyle\frac{(5x^4+4x^3+3x^2+2x+1)+(x^4+x^2+1)}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}dx\)

 

第1項は消えて整理します。

 

\(=\biggl[\log(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)\biggr]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}+\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\displaystyle\frac{x^4+x^2+1}{(x+1)(x^4+x^2+1)}dx\)

 

\(=\log 3 + \biggl[\log(x+1)\biggr]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\)

 

\(=2\log 3\)

 

 

答え

\(2\log 3\)

 

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