積分問題bot40

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積分問題bot40

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の40番の問題です。

 

 

 

思考

部分積分をします。漸化式になります。

 

 

解答1

\(I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x dx\)とする。

 

\( \sin x\)  と  \(\sin^{n-1} x\) に分けて考えて部分積分します。

 

\(=\biggl[-\sin^{n-1} x\cos x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2} x\cos^2 xdx\)

 

 \(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2} x(1-\sin^2 x)dx\) ※第一項は0

 

 \(=(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2} xdx-(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx\)

 

\(=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\)

 

よって変形すると、次のような漸化式が成立する。

 

\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)

 

 \(I_{0}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)   で \(I_{1}=1\)  なので

 

\(I(n)=\begin{cases} \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\displaystyle\frac{\pi}{2} & \text{$(nが偶数)$} \\ \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!} & \text{$(nが奇数)$} \end{cases}\)

 

 !! は二重階乗といい飛ばし飛ばしの階乗。

例、\(6!!=6\times 4\times 2=48\)

 

 

解答2

\(B(p,q)=\displaystyle\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta \sin^{2q-1}\theta d\theta\) を使用。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2} B\biggl(\displaystyle\frac{1}{2} , \displaystyle\frac{n+1}{2}\biggr)\)  ※\(p=\displaystyle\frac{1}{2}\)、\(q=\displaystyle\frac{n+1}{2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\) ※ガンマ関数に書き換え

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\)  ※\(\Gamma(\displaystyle\frac{1}{2}=\sqrt{\pi})\)

 

以下、\(\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)\)等を使って変形していく。偶数奇数で場合分けします。

 

nが偶数の時

\(\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\displaystyle\frac{(n-1)!! \Gamma(\frac{1}{2})}{2^{\frac{n}{2}}}\cdot\displaystyle\frac{2^{\frac{n}{2}}}{n!! }\)

 

\(=\displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

・nが奇数の時

\(\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\displaystyle\frac{(n-1)!!}{2^{\frac{n-1}{2}}}\cdot\displaystyle\frac{2^{\frac{n+1}{2}}}{n!! \Gamma(\frac{1}{2})}\)

 

\(=\displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\)

 

答え

\(I(n)=\begin{cases} \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\displaystyle\frac{\pi}{2} & \text{$(nが偶数)$} \\ \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!} & \text{$(nが奇数)$} \end{cases}\)

 

 

 

 

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