積分問題bot40

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積分問題bot40

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の40番の問題です。

 

 

思考

部分積分です。漸化式になります。

 

計算

\(I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x dx\)とする。

 

\( \sin x\)  と  \(\sin^{n-1} x\) に分けて考えて部分積分します。

 

\(=\biggl[-\sin^{n-1} x\cos x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2} x\cos^2 xdx\)

 

 \(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2} x(1-\sin^2 x)dx\)

 

 \(=(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2} xdx-(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx\)

 

\(=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\)

 

よって変形すると、次のような漸化式が成立する。

 

\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)

 

 \(I_{0}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)   で \(I_{1}=1\)  なので

 

答え

nが偶数の時は最後が\(I_{0}\)になり、

\(I_{n}=\displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

nが奇数の時は最後が\(I_{1}\)になり、

\(I_{n}=\displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\)

 

二重階乗

 !! は二重階乗といい飛ばし飛ばしの階乗。

 

例、\(6!!=6\times 4\times 2=48\)

 

 

 

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